Stephan Gerlach
2020-04-01 22:39:53 UTC
[Prognose, Teil 2, leider nicht komplett gelöst...]
Wir gehen wieder aus von einer abgeschlossenen Population, in der die
Anzahl N_i der zum Zeitpunkt t infizierten Personen angegeben werden soll.
Im Vergleich zu meiner ersten Modellierung (siehe "Coronavirus:
Pessimistische Prognose") will ich nun zusätzlich annehmen, daß Personen
auch geheilt werden können.
Überraschenderweise muß durch die Heilungs-Annahme viel mehr geändert
werden als gedacht.
Los geht's:
-----------
N_G = Gesamt-Anzahl aller Personen in der Population (zu jedem Zeitpunkt
konstant)
t = Zeit (genauer: Zeitpunkt)
dt = (infinitesimales) Zeitintervall, genauer: [t, t+dt]
Man geht davon aus, daß es 3 Arten von Personen gibt:
- noch nicht infiziert (n)
- aktuell infiziert (i)
- geheilt (g).
Die Anzahlen dieser Personen hängen von der Zeit ab und bezeichnen wir
mit Ni(t), Nn(t), Ng(t).
Wir haben Anfangswerte
Ni_0 = Anzahl der am Anfang (Zeit t=0) infizierten Personen
Nn_0 = Anzahl der am Anfang (Zeit t=0) noch nicht infizierten Personen
Ng_0 = Anzahl der am Anfang (Zeit t=0) geheilten Personen (ist 0)
Theoretisch kann im Zeitintervall dt eine beliebige Person von jedem der
3 Zustände (n), (i), (g) in einen anderen Zustand übergehen. Praktisch
sind aber nur folgende Zuständsänderungen möglich bzw. von Bedeutung:
(n) --> (i)
(i) --> (g).
Für den Heil-Vorgang (i) --> (g) nehmen wir eine konstante Zeit T an,
die für jede Person im Zustand (i) gleich ist:
T = Heilzeit
D.h. eine Person ist erst im Zustand (i), und dann dauert es die Zeit T,
bis die Person abrupt in den Zustand (g) übergeht.
Wir bezeichnen wieder:
K = Anzahl aller(!) Kontakte in der Population im Zeitintervall dt
k = verhaltensabhängige Konstante der Population, nicht von N_G oder t
abhängig, beschreibt die Anzahl aller Kontakte pro Gesamtzahl Personen
und pro Zeitintervall, also
k = K/(N_G*dt).
K_{i,n} = Anzahl aller Kontakte der Art (i)--(n) in der Population im
Zeitintervall dt.
p = Wahrscheinlichkeit für einen beliebigen Kontakt, daß dieser Kontakt
von der Art (i)--(n) ist.
Gesucht ist nun nicht mehr nur Ni als Funktion von t, sondern auch Nn
und Ng:
Ni(t) = ? (wie bei der Modellierung ohne Heilung)
Nn(t) = ?
Ng(t) = ?
Mit den eingeführten Bezeichnungen gilt nun folgendes:
------------------------------------------------------
Erstmal ein Sammelsurium an Gleichungen, die sich mehr oder weniger
direkt aus Annahmen ergeben:
K = k*N_G*dt
Ni + Nn + Ng = N_G
Ni'(t) + Nn'(t) + Ng'(t) = 0
dNn = -K{i,n}
K_{i,n} = K*p
p = 2*Ni*Nn/((N_G*(N_G-1))
Eine sehr merkwürdige Gleichung, die ich hervorheben will, lautet dabei:
dNg(t) = -dNn(t-T)
In Worten:
"Im Intervall [t, t+dt] ist die Zunahme der Geheilten genau die Abnahme
der Noch-nicht-Infizierten im Intervall [t-T, t-T+dt]".
Diese Annahme erscheint mir plausibel, scheint aber zu gravierenden
rechnerischen Problemen zu führen.
Der besseren Übersichtlichkeit wegen kürzen wir (als Konstante) ab
c := 2*k*/(N_G-1)
Das alles führt zu einem Differential(?)gleichungs-System mit 3
Gleichungen und 3 gesuchten Funktionen mit Anfangswerten.
Differential(?)gleichungssystem:
--------------------------------
[1] Nn'(t) = -c * Ni(t) * Nn(t)
[2] Ng'(t) = c * Ni(t-T) * Nn(t-T)
[3] Ni'(t) + Nn'(t) + Ng'(t) = 0
(Evtl. ist noch Ni(t) + Nn(t) + Ng(t) = N_G hilfreich?!)
Anfangswerte:
Ni(0) = Ni_0
Nn(0) = Nn_0
Ng(0) = 0
(Bem.: Ni_0 + Nn_0 = N_G)
Man kann leicht ein System mit 2 Gleichungen draus machen, indem man [2]
in [3] für Ng'(t) einsetzt. Dann hat man nur noch Ni und Nn als gesuchte
Funktionen.
Trotzdem fällt mir auf die Schnelle leider nicht ein, wie das
(elementar?) zu lösen ist.
Zudem ist mir unklar, ob [2] überhaupt als "richtige"
Differentialgleichung gilt, da das Argument bei Ni und Nn nicht t,
sondern t-T ist.
Falls eine exakte Lösung nicht möglich ist, so kann man ja vielleicht
wenigstens qualitative Aussagen über die Lösungen machen, z.B.
Grenzwertverhalten, oder Existenz von Extrem- und Wendepunkten.
Wir gehen wieder aus von einer abgeschlossenen Population, in der die
Anzahl N_i der zum Zeitpunkt t infizierten Personen angegeben werden soll.
Im Vergleich zu meiner ersten Modellierung (siehe "Coronavirus:
Pessimistische Prognose") will ich nun zusätzlich annehmen, daß Personen
auch geheilt werden können.
Überraschenderweise muß durch die Heilungs-Annahme viel mehr geändert
werden als gedacht.
Los geht's:
-----------
N_G = Gesamt-Anzahl aller Personen in der Population (zu jedem Zeitpunkt
konstant)
t = Zeit (genauer: Zeitpunkt)
dt = (infinitesimales) Zeitintervall, genauer: [t, t+dt]
Man geht davon aus, daß es 3 Arten von Personen gibt:
- noch nicht infiziert (n)
- aktuell infiziert (i)
- geheilt (g).
Die Anzahlen dieser Personen hängen von der Zeit ab und bezeichnen wir
mit Ni(t), Nn(t), Ng(t).
Wir haben Anfangswerte
Ni_0 = Anzahl der am Anfang (Zeit t=0) infizierten Personen
Nn_0 = Anzahl der am Anfang (Zeit t=0) noch nicht infizierten Personen
Ng_0 = Anzahl der am Anfang (Zeit t=0) geheilten Personen (ist 0)
Theoretisch kann im Zeitintervall dt eine beliebige Person von jedem der
3 Zustände (n), (i), (g) in einen anderen Zustand übergehen. Praktisch
sind aber nur folgende Zuständsänderungen möglich bzw. von Bedeutung:
(n) --> (i)
(i) --> (g).
Für den Heil-Vorgang (i) --> (g) nehmen wir eine konstante Zeit T an,
die für jede Person im Zustand (i) gleich ist:
T = Heilzeit
D.h. eine Person ist erst im Zustand (i), und dann dauert es die Zeit T,
bis die Person abrupt in den Zustand (g) übergeht.
Wir bezeichnen wieder:
K = Anzahl aller(!) Kontakte in der Population im Zeitintervall dt
k = verhaltensabhängige Konstante der Population, nicht von N_G oder t
abhängig, beschreibt die Anzahl aller Kontakte pro Gesamtzahl Personen
und pro Zeitintervall, also
k = K/(N_G*dt).
K_{i,n} = Anzahl aller Kontakte der Art (i)--(n) in der Population im
Zeitintervall dt.
p = Wahrscheinlichkeit für einen beliebigen Kontakt, daß dieser Kontakt
von der Art (i)--(n) ist.
Gesucht ist nun nicht mehr nur Ni als Funktion von t, sondern auch Nn
und Ng:
Ni(t) = ? (wie bei der Modellierung ohne Heilung)
Nn(t) = ?
Ng(t) = ?
Mit den eingeführten Bezeichnungen gilt nun folgendes:
------------------------------------------------------
Erstmal ein Sammelsurium an Gleichungen, die sich mehr oder weniger
direkt aus Annahmen ergeben:
K = k*N_G*dt
Ni + Nn + Ng = N_G
Ni'(t) + Nn'(t) + Ng'(t) = 0
dNn = -K{i,n}
K_{i,n} = K*p
p = 2*Ni*Nn/((N_G*(N_G-1))
Eine sehr merkwürdige Gleichung, die ich hervorheben will, lautet dabei:
dNg(t) = -dNn(t-T)
In Worten:
"Im Intervall [t, t+dt] ist die Zunahme der Geheilten genau die Abnahme
der Noch-nicht-Infizierten im Intervall [t-T, t-T+dt]".
Diese Annahme erscheint mir plausibel, scheint aber zu gravierenden
rechnerischen Problemen zu führen.
Der besseren Übersichtlichkeit wegen kürzen wir (als Konstante) ab
c := 2*k*/(N_G-1)
Das alles führt zu einem Differential(?)gleichungs-System mit 3
Gleichungen und 3 gesuchten Funktionen mit Anfangswerten.
Differential(?)gleichungssystem:
--------------------------------
[1] Nn'(t) = -c * Ni(t) * Nn(t)
[2] Ng'(t) = c * Ni(t-T) * Nn(t-T)
[3] Ni'(t) + Nn'(t) + Ng'(t) = 0
(Evtl. ist noch Ni(t) + Nn(t) + Ng(t) = N_G hilfreich?!)
Anfangswerte:
Ni(0) = Ni_0
Nn(0) = Nn_0
Ng(0) = 0
(Bem.: Ni_0 + Nn_0 = N_G)
Man kann leicht ein System mit 2 Gleichungen draus machen, indem man [2]
in [3] für Ng'(t) einsetzt. Dann hat man nur noch Ni und Nn als gesuchte
Funktionen.
Trotzdem fällt mir auf die Schnelle leider nicht ein, wie das
(elementar?) zu lösen ist.
Zudem ist mir unklar, ob [2] überhaupt als "richtige"
Differentialgleichung gilt, da das Argument bei Ni und Nn nicht t,
sondern t-T ist.
Falls eine exakte Lösung nicht möglich ist, so kann man ja vielleicht
wenigstens qualitative Aussagen über die Lösungen machen, z.B.
Grenzwertverhalten, oder Existenz von Extrem- und Wendepunkten.
--
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)